Question

19．圓x²+y²-2x+4y-20=0截直線5x-12y+c=0的弦長為8，
（1）求c的值；
（2）求直線y=x-11上的點到圓上點的最短距離．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，利用垂徑定理求得c值；
（2）化直線方程為一般式，求出圓心到直線的距離，減去半徑得答案．

解答 解：（1）由x²+y²-2x+4y-20=0，得（x-1）²+（y+2）²=5²，
∴圓心坐標為（1，-2），半徑r=5，
∵圓x²+y²-2x+4y-20=0截直線5x-12y+c=0的弦長為8，
∴圓心到直線5x-12y+c=0的距離為3，即$\frac{|5+24+c|}{13}=3$，解得：c=10或c=-68；
（2）由y=x-11，得x-y-11=0，
圓心（1，-2）到直線的距離d=$\frac{|1+2-11|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
∴直線y=x-11上的點到圓上點的最短距離為$4\sqrt{2}-5$．

點評 本題考查直線與原點位置關系，考查了點到直線距離公式的應用，是基礎題．