Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x，x≤0 log 1 2 x，x＞0

，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法設(shè)t=f（x），則方程等價(jià)為f（t）=0，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出此題的關(guān)鍵是a•2^x取不到1和0．

解答： 解：設(shè)t=f（x），則f（t）=0，
若a＜0時(shí)，當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x＜0．
由f（t）=0，即log

1

2

t=0，此時(shí)t=1，
當(dāng)t=1得f（x）=1，此時(shí)x=

1

2

有唯一解，此時(shí)滿足條件．
若a=0，此時(shí)當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x=0，此時(shí)函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，不滿足條件．
若a＞0，當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x∈（0，a]．
此時(shí)f（x）的最大值為a，
要使若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
則a＜1，此時(shí)0＜a＜1，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1），
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．