Question

10．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)3x-4y-5=0垂直，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)3x-4y-5=0互相垂直，利用相互垂直的直線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系和離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)3x-4y-5=0互相垂直，
∴$\frac{3}{4}$×（-$\frac{a}$）=-1，得到$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$．
∴雙曲的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\frac{5}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)、相互垂直的直線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系和離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．