Question

設f（x）=x²-x-blnx+m（b，m∈R）．
（1）當b=3時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）記h（x）=f（x）+blnx，求函數y=h（x）在（0，m]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，利用導數的正負，可得函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）配方法，分類討論，即可求函數y=h（x）在（0，m]上的最小值．

解答： 解：（1）當b=3時，f（x）=x²-x-3lnx+m，則f′（x）=

(2x-3)(x+1)

x

（x＞0），
∴f（x）在[

3

2

，+∞）上單調遞增；在（0，

3

2

）上單調遞減；
（2）h（x）=f（x）+blnx=(x-

1

2

)2+m-

1

4

（x＞0），
∴0＜m≤

1

2

時，函數h（x）在（0，m]上單調遞減，∴h（x）_min=h（m）=m²；
m＞

1

2

時，函數h（x）在（0，

1

2

]上單調遞減，在[

1

2

，m]上單調遞增，∴h（x）_min=h（

1

2

）=m-

1

4

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．