Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時(shí)，求證：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可證明：f（x）≥-x²+x；

解答 （Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1+a=0\\ f'（0）=1=b\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$，f（x）=e^x-x²-1．
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題