Question

6．設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y²=2px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²-2px=0（x≠0）．

Answer 1

分析 直接設(shè)出直線AB的方程：y=kx+b，與拋物線聯(lián)立，利用維達(dá)定理及條件OA⊥OB可推出b與k的聯(lián)系，再由OM⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$代入直線方程即可求得M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M（x，y），直線AB方程為y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得k²x²+x（2kb-2p）+b²=0，所以x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$．
消去x，得ky²-2py+2pb=0，所以y₁y₂=$\frac{2pb}{k}$．
由OA⊥OB，得y₁y₂=-x₁x₂，所以$\frac{2pb}{k}$=-$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，所以b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）
用k=-$\frac{x}{y}$代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
故答案為：x²+y²-2px=0（x≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法：參數(shù)法，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量較大，很好的考查了推理判斷能力和運(yùn)算求解能力．