Question

16．設(shè)a₁=1，且a_n+1=3a_n+2•3ⁿ，（n∈N₊），求a_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{2}{3}$為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2•3ⁿ，兩邊同時除以3ⁿ⁺¹得：
$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}+\frac{2}{3}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{2}{3}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{2}{3}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}（n-1）=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（2n-1）•{3}^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．