Question

4．已知橢圓5x²+9y²=45，橢圓的右焦點為F，
（1）求過點F且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長．
（2）求以M（1，1）為中點的橢圓的弦所在的直線方程．
（3）過橢圓的右焦點F的直線l交橢圓于A，B，求弦AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 橢圓$5{x^2}+9{y^2}=45?\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，右焦點為F（2，0）．
（1）過點F（2，0）且斜率為1的直線為y=x-2，設(shè)l與橢圓交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$即可得出．
（2）設(shè)l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=1$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=1$，$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．把點A，B的坐標代入橢圓方程，兩式相減可得k，再利用點斜式即可得出．
（3）設(shè)點P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，k_AB=k_FP，即$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x-2}$，把點A，B的坐標代入橢圓方程，兩式相減即可得出．

解答 解：橢圓$5{x^2}+9{y^2}=45?\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，右焦點為F（2，0）．
（1）過點F（2，0）且斜率為1的直線為y=x-2，設(shè)l與橢圓交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}5{x^2}+9{y^2}=45\\ y=x-2\end{array}\right.$，消去y得14x²-36x-9=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{18}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{9}{14}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{30}{7}$．
（2）設(shè)l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=1$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=1$，$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}5{x_1}^2+9{y_1}^2=45\\ 5{x_2}^2+9{y_2}^2=45\end{array}\right.$，
兩式相減得：5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$5（{x_1}+{x_2}）+9（{y_1}+{y_2}）（{\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}}）=0$，
∴5+9k=0，即$k=-\frac{5}{9}$．
∴l(xiāng)方程為y-1=$-\frac{5}{9}$（x-1）即5x+9y-14=0．
（3）設(shè)點P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，k_AB=k_FP，即$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x-2}$，
$\left\{\begin{array}{l}5{x_1}^2+9{y_1}^2=45\\ 5{x_2}^2+9{y_2}^2=45\end{array}\right.$，兩式相減得：5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
$5（{x_1}+{x_2}）+9（{y_1}+{y_2}）（{\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}}）=0$，$5x+9y（{\frac{y}{x-2}}）=0$，
整理得：5x²+9y²-10x=0，
AB中點的軌跡方程為5x²+9y²-10x=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點坐標公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．