Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$，若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{mx}{1+x}$在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{mx}{1+x}$在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程mx²+x+m+1=0（*）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個非零的實(shí)根．分類討論，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：因?yàn)?f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，令g（x）=0，即$\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{mx}{1+x}=0$．-------------------------（2分）
化簡得x（mx²+x+m+1）=0．所以x=0或mx²+x+m+1=0．
若0是方程mx²+x+m+1=0的根，則m=-1，----------------------------------（4分）
此時方程為-x²+x=0的另一根為1，不滿足g（x）在（-1，1）上有兩個不同的零點(diǎn)．------------（6分）
所以函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{mx}{1+x}$在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程mx²+x+m+1=0（*）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個非零的實(shí)根．
（1）當(dāng)m=0時，得方程（*）的根為x=-1，不符合題意．-----------------------（7分）
（2）當(dāng)m≠0時，則
①當(dāng)△=1²-4m（m+1）=0時，得$m=\frac{{-1±\sqrt{2}}}{2}•$若$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
則方程（*）的根為$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1∈（-1，1）$，符合題意，--------（8分）
若$m=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$，則方程（*）的根為$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1+\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}-1∉（-1，1）$，
不符合題意．所以$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}•$-------------------------------------------------（9分）
②當(dāng)△＞0時，$m＜\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$或$m＞\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}•$
令ϕ（x）=mx²+x+m+1，由ϕ（-1）ϕ（1）＜0且ϕ（0）≠0，得-1＜m＜0．------------------（11分）
綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-1，0）∪\{\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}\}$．----------------------（12分）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．