Question

7．已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-5|≤m的解集不是空集，記m的最小值為t．
（Ⅰ）求t；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{tb}$}，求證：c≥1．注：maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值不等式的意義求出|x-3|+|x-5|的最小值即可求出t；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$}，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（Ⅰ）|x-3|+|x-5|≥|（x-3）-（x-5）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)3≤x≤5時取等號，
故m≥2即t=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$}，
則c²≥$\frac{1}{a}$•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2ab}$≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{a}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2ab}$=1即a=b=1時“=”成立，
∵c＞0，∴c≥1．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．