Question

13．若實數(shù)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{2x+y-4≥0}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則$\frac{x}{y}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，2]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{k}$，利用k的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，則由圖象知x＞0，
則設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{k}$，
則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知，OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，1），
則OA的斜率k=2，OC的斜率k=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
則$\frac{2}{3}$≤k≤2，則$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{y}$≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{x}{y}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為直線斜率的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．