Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E為線段PC上一點(diǎn)，且AC⊥BE，
（1）求證：PA∥平面BED；
（2）若BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，PA=3且AB=CD，求PB與面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OE，推導(dǎo)出AC⊥OE，AC⊥PA，從而OE∥PA，由此能證明PA∥平面BED．
（2）分別以O(shè)B，OC，OE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出PB與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=B，
∴AC⊥平面BDE，連接OE，…（1分）
∴AC⊥OE，又PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥PA，又OE，PA都是平面PAC中的直線，
∴OE∥PA，…（3分）
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BED．…（4分）
解：（2）∵BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，且AB=CD，
∴在等腰梯形ABCD中，OB=OC=1，OA=OD=2，…（5分）
由（1）知OE⊥平面ABCD，分別以O(shè)B，OC，OE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則B（1，0，0），C（0，1，0），D（-2，0，0），P（0，-2，3），…（6分）
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，則y=z-2，$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-2），…（9分）
又$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-3），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，…（11分）
∴PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．