Question

3．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是邊BC上異于C的一點(diǎn)，AD⊥C₁D．
（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)，求證：平面A₁EB∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）由于正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，得到AD⊥CC₁又已知AD⊥C₁D，利用線面垂直的判斷定理得到結(jié)論．
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于O，連結(jié)OD，推導(dǎo)出OD∥A₁B，由點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)，可得BD$\stackrel{∥}{=}$EC₁，即BE∥DC₁，由BE∩A₁B=B，DC₁∩OD=D，即可證明平面A₁EB∥平面ADC₁．

解答 （滿分為14分）
解：（1）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，
∴AD⊥CC₁．                   …（2分）
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁內(nèi)，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．            …（5分）
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于O，連結(jié)OD，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D在棱BC上，AD⊥C₁D．
平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁，
∴D是BC中點(diǎn)，O是A₁C中點(diǎn)，
∴OD∥A₁B，…（7分）
∵點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，
∴BD$\stackrel{∥}{=}$EC₁，
∴四邊形BDEC₁ 為平行四邊形，BE∥DC₁，…（10分）
∵BE∩A₁B=B，DC₁∩OD=D，且A₁B，BE?平面A₁EB，DC₁，OD?平面ADC₁，
∴平面A₁EB∥平面ADC₁．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面垂直和線面平行的證明，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．