Question

函數(shù)f（x）=cos³x+sin²x-cosx上最大值等于（　　）

• A、

  4

  27

• B、

  8

  27

• C、

  16

  27

• D、

  32

  27

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用換元法將函數(shù)進行換元，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和函數(shù)最值之間的關系即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx，
令t=cosx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)f（x）等價為g（t）=t³+1-t²-t，-1≤t≤1
函數(shù)的導數(shù)g′（t）=3t²-2t-1=（t-1）（3t+1），-1≤t≤1，
當-

1

3

≤t≤1時，g′（t）≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當-1≤t≤-

1

3

時，g′（t）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，
則t=-

1

3

，函數(shù)g（t）取得極大值，同時也是最大值g（-

1

3

）=

32

27

，
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的最值，利用換元法，結(jié)合函數(shù)最值和函數(shù)導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．