Question

8．已知奇函數(shù)f（x）=$\frac{1+m•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$的定義域為[-1，1]，則m=-1；f（x）的值域為[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 根據條件知f（x）在原點有定義，并且為奇函數(shù)，從而f（0）=0，這樣即可求出m=-1，分離常數(shù)得到$f（x）=-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}$，根據解析式可以看出x增大時，f（x）減小，從而得出該函數(shù)在[-1，1]上單調遞減，從而f（1）≤f（x）≤f（-1），這樣便可求出f（x）的值域．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)，在原點有定義；
∴f（0）=0；
即$\frac{1+m}{1+1}=0$；
∴m=-1；
$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=\frac{-（1+{2}^{x}）+2}{1+{2}^{x}}=-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}$；
x增大時，1+2^x增大，∴f（x）減�。�
∴f（x）在[-1，1]上單調遞減；
∴f（1）≤f（x）≤f（-1）；
即$-\frac{1}{3}≤f（x）≤\frac{1}{3}$；
∴f（x）的值域為$[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]$．
故答案為：-1，[$-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，f（0）=0，根據單調性定義判斷一個函數(shù)單調性的方法，指數(shù)函數(shù)的單調性，以及根據單調性求函數(shù)的值域．