Question

16．某公司銷售A，B兩種產(chǎn)品，銷售A種產(chǎn)品x元，可獲利$\frac{1}{4}$x元，銷售B種產(chǎn)品與投入資金的算術(shù)平方根成正比，已知投入4萬元可產(chǎn)生利潤1萬元．
（1）求銷售B種產(chǎn)品所得利潤關(guān)于投資金額的函數(shù)表達(dá)式；
（2）現(xiàn)有10萬元資金，如何投入A，B兩種產(chǎn)品的銷售才能獲得最大利潤？并求出利潤．

Answer 1

分析 （1）利用銷售B種產(chǎn)品與投入資金的算術(shù)平方根成正比，已知投入4萬元可產(chǎn)生利潤1萬元，可得銷售B種產(chǎn)品所得利潤關(guān)于投資金額的函數(shù)表達(dá)式；
（2）分別求出投入A，B兩種產(chǎn)品的銷售獲得利潤，利用換元法求出最大值．

解答 解：（1）設(shè)銷售B種產(chǎn)品投入資金t萬元，則銷售B種產(chǎn)品所得利潤L=k$\sqrt{t}$，
∵投入4萬元可產(chǎn)生利潤1萬元，
∴1=2k，∴k=$\frac{1}{2}$，
∴L=$\frac{1}{2}\sqrt{t}$；
（2）y=$\frac{1}{2}$$\sqrt{t}$+$\frac{1}{4}$（10-t），（0＜t＜10）
設(shè)$\sqrt{t}$=x（0＜x＜$\sqrt{10}$），則y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{4}（x-1）^{2}+\frac{11}{4}$，
∴x=1時，y取得最大值為$\frac{11}{4}$萬元，投入A，B兩種產(chǎn)品的銷售分別為1萬元，9萬元．

點評 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及函數(shù)的最值的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．