Question

14．（實驗班）f（x）=x²+4x+2在區(qū)間[t，t+2]上最小值為g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的對稱軸以及開口方向，通過對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，討論求函數(shù)的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x+2）²-2的圖象的對稱軸方程為x=-2，開口向上．
當-2∈[t，t+2]，即t≤-2≤t+2，也就是-4≤t≤-2時，g（t）=f（-2）=-2；
當-2∉[t，t+2]時，
①當t＞-2時，f（x）在[t，t+2]上為增函數(shù)，故g（t）=f（t）=t²+4t+2．
②當t+2＜-2，即t＜-4時，f（x）在[t，t+2]上為減函數(shù)，
故g（t）=f（t+2）=（t+2）²+4（t+2）+2=t²+8t+14．
故g（t）的解析式為g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+8t+14，t＜-4}\\{-2，-4≤t≤-2}\\{{t}^{2}+4t+2，t＞-2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類討論的思想方法和分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．