Question

19．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且2a-b=2ccosB．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若a=2，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把已知的等式化邊為角，即可求得角C；
（Ⅱ）利用正弦定理把b用含有角B的代數(shù)式表示，然后由角B的范圍求得b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）在銳角△ABC中，由2a-b=2ccosB，可得2sinA-sinB=2sinCcosB，
∴2sin（B+C）-sinB=2sinCcosB，
則2sinCcosB+2cosCsinB-sinB=2sinCcosB，
∴2cosCsinB-sinB=0，
∵sinB≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A+B=$\frac{2}{3}π$，A=$\frac{2}{3}π-B$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得$\frac{2}{sin（\frac{2}{3}π-B）}=\frac{sinB}$，
∴$b=\frac{2sinB}{sin（\frac{2}{3}π-B）}$=$\frac{2sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}cotB+\frac{1}{2}}$，
∵$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，∴0＜cotB$＜\sqrt{3}$，
則0$＜\frac{\sqrt{3}}{2}cotB＜\frac{3}{2}$，$0＜\frac{\sqrt{3}}{2}cotB+\frac{1}{2}＜2$，
∵b＞0，
∴b∈（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了三角形的解法，體現(xiàn)了極限思想方法的運(yùn)用，是中檔題．