Question

為貫徹“激情工作，快樂數(shù)學(xué)”的理念，某學(xué)校在學(xué)習(xí)之余舉行趣味知識(shí)有獎(jiǎng)競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（1）求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；
（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為 

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

，由此能求出選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率．
（2）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，
選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為 

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

，
∴選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率P=

8

27

+

8

27

=

16

27

．（4分）
（2）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．
則有P(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，
P(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，
P(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2•

1

3

=

8

27

，

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．