Question

（1）已知

x

=2

b

-3

a

，

y

=2

a

+

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為60°，求

x

與

y

的夾角．
（2）已知

a

=（3，4），

AB

與

a

平行，且|

AB

|=10，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，3），求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件求得

x

•

y

、|

x

|、|

y

|的值，再根據(jù)兩個(gè)向量的夾角公式求得

x

與

y

的夾角的余弦值，可得

x

與

y

的夾角．
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（x，y），再根據(jù)

AB

與

a

平行，且|

AB

|=10，求得x、y的值，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意可得

x

•

y

=

a

•

b

+2|

b

|2-6|

a

|2=-

7

2

，|

x

|=

(2 b -3 a )2

=

4| b |2+9| a |2-12 a • b

=

7

，
|

y

|=

(2 a + b )2

=

4| a |2+| b |2+4 a • b

=

7

．
設(shè)

x

與

y

的夾角為α，由 cosα=

x • y

| x || y |

=-

1

2

，可得α=120°．
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（x，y），則

AB

=(x+1，y-3)，∵|

AB

|=10，∴（x+1）²+（y-3）²=100①．
又∵

AB

∥

a

，∴3（y-3）=4（x+1）②，由①②可得

x=5 y=11

，或

x=-7 y=-5

，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，11），或（-7，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求向量的模，屬于基礎(chǔ)題．