Question

11．如圖ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，B₁E₁=D₁F₁=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{4}$，則BE₁與DF₁所成角的余弦值是$\frac{15}{17}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題圖中的坐標(biāo)系得到向量 $\overrightarrow{B{E}_{1}}$，$\overrightarrow{D{F}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答．

解答 解：由已知題圖中坐標(biāo)系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E₁（1，$\frac{3}{4}$，1），F(xiàn)₁（0，$\frac{1}{4}$，1），
$\overrightarrow{B{E}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{4}$，1），$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=（0，$\frac{1}{4}$，1），
所以cos＜$\overrightarrow{B{E}_{1}}$，$\overrightarrow{D{F}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{E}_{1}}•\overrightarrow{D{F}_{1}}}{|\overrightarrow{B{E}_{1}}||\overrightarrow{D{F}_{1}}|}$=$\frac{\frac{15}{16}}{\sqrt{\frac{17}{16}}\sqrt{\frac{17}{16}}}$=$\frac{15}{17}$，
所以BE₁與DF₁所成的角的余弦值為$\frac{15}{17}$．
故答案為：$\frac{15}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體中線線關(guān)系的判斷；解答本題的關(guān)鍵是利用空間向量的數(shù)量積．