Question

3．已知向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為60°，且$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2$，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，則實(shí)數(shù)λ的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量垂直的定義和關(guān)系建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為60°，且$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
則λ$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
則2λ-4λ+4-2=0，
2λ=2，解得λ=1，
故答案是：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以后平面向量的基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直的等價(jià)關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．