Question

7．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A是以F₁為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF₂與圓相切，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可得A在雙曲線的左支上，AF₁⊥AF₂，且AF₁=b，AF₂=2a+b，F(xiàn)₁F₂=2c，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：由題意可得A在雙曲線的左支上，AF₁⊥AF₂，
且AF₁=b，AF₂=2a+b，F(xiàn)₁F₂=2c，
由勾股定理可得，b²+（2a+b）²=4c²，
由c²=a²+b²，化簡(jiǎn)可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查離心率的求法，屬于中檔題．