Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求證：PB⊥AD；
（II）若PB=$\sqrt{6}$，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD．證明AD⊥平面PBE，然后證明PB⊥AD；
（Ⅱ）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面APD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），平面PDC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$，利用向量的數(shù)量積求解二面角A-PD-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形，
則PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）
又PB?平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）
（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，則PB²=PE²+BE²，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{PD}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
由題意可設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）；…（7分）
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由 得：$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則x=$\sqrt{3}$，z=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1）；
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…（11分）
由題意知二面角A-PD-C的平面角為鈍角，
所以，二面角A-PD-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{5}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，二面角的平面角的求法，考查邏輯推理以及計(jì)算能力．