【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,,求證:.
【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為,不存在遞減區(qū)間.(2)見證明
【解析】
(1)求出,研究函數(shù)的正負(fù)情況即可明確的正負(fù)情況,即可得到的單調(diào)區(qū)間;
(2) 設(shè),證明,要證明
只需證明.
解法一:(1)的定義域?yàn)?/span>,時(shí),
,
所以
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增;
所以,所以在單調(diào)遞增,
即的單調(diào)遞增區(qū)間為,不存在遞減區(qū)間.
(2)設(shè),則
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減;
所以
所以時(shí),
即,要證明
只需證明
由(1)知,在單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)時(shí),,即
所以當(dāng)時(shí),
所以只需證明,即證明
設(shè),則
所以在單調(diào)遞增,所以,所以原不等式成立.
綜上,當(dāng),時(shí),
解法二:(1)同解法一
(2)同解法一得只需證明
設(shè),則
,
由得,即
因?yàn)?/span>,所以
又因?yàn)?/span>,所以
因?yàn)?/span>,所以
所以,在單調(diào)遞增,所以
所以在單調(diào)遞減,所以,即
綜上,當(dāng),時(shí),
解法三:(1)同解法一
(2)同解法一得要證明,只需證明,
即證明,設(shè)
則
由,得,即,所以,
所以在單調(diào)遞增,所以
即,所以
綜上,當(dāng),時(shí),
解法四:(1)同解法一
(2)同解法一得要證明,只需證明,
即證明,設(shè)
,設(shè),
因?yàn)?/span>,所以,所以在單調(diào)遞減,
所以,
所以在單調(diào)遞增,所以
即,所以
綜上,當(dāng),時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,三角形的兩條邊所在直線的斜率之積是.
(I)求點(diǎn)的軌跡方程;
(II)設(shè)直線方程為,直線方程為,直線交于,點(diǎn)關(guān)于軸對稱,直線與軸相交于點(diǎn),求面積關(guān)于的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽調(diào)了50人,他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.
月收入(單位百元) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表,并問是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500元為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異;
月收入不低于55百元的人數(shù) | 月收入低于55百元的人數(shù) | 合計(jì) | |
贊成 | a=______________ | c=______________ | ______________ |
不贊成 | b=______________ | d=______________ | ______________ |
合計(jì) | ______________ | ______________ | ______________ |
(2)試求從年收入位于(單位:百元)的區(qū)間段的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取2人,恰有1位是贊成者的概率。
參考公式:,其中.
參考值表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生學(xué)習(xí)的自律性很重要.某學(xué)校對自律性與學(xué)生成績是否有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研,從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
自律性一般 | 自律性強(qiáng) | 合計(jì) | |
成績優(yōu)秀 | 40 | ||
成績一般 | 20 | ||
合計(jì) | 50 | 100 |
(1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的數(shù)據(jù);
(2)判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成績有關(guān).
參考公式及數(shù)據(jù):.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(2)若當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,均垂直于平面,,,,.
(1)過的平面與平面垂直,請?jiān)趫D中作出截此多面體所得的截面,并說明理由;
(2)若,,求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)簡記為,若由構(gòu)成的數(shù)列滿足,(其中是與軸正方向相同的單位向量),則稱為“點(diǎn)列”.
(1)試判斷:,...是否為“點(diǎn)列”?并說明理由.
(2)若為“點(diǎn)列”,且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方.任取其中連續(xù)三點(diǎn),判斷的形狀(銳角,直角,鈍角三角形),并證明.
(3)若為“點(diǎn)列”,正整數(shù)滿足:,且,求證:.
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