Question

4．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦距是其一個焦點到一條漸近線距離的4倍，則該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)焦距和焦點到一條漸近線距離的，建立方程關系，就可得到含b，c的齊次式，再把b用a，c表示，利用e=$\frac{c}{a}$即可求出離心率．

解答 解：設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦點坐標為A（c，0），B（-c，0），漸近線方程為y=±$\frac{a}$x
根據(jù)雙曲線的對稱性，任意一個焦點到兩條漸近線的距離都相等，
則A（c，0）到y(tǒng)=$\frac{a}$x的距離，d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{\sqrt{{c}^{2}}}$=b，
又焦距是其一個焦點到一條漸近線距離的4倍，
則4b=2c，即c=2b，
兩邊平方，得4b²=c²，即4（c²-a²）=c²，
∴3c²=4a²，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，即e²=$\frac{4}{3}$，e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點評 本題主要考查點到直線的距離公式的應用，以及雙曲線離心率的求法，求離心率關鍵是找到a，c的齊次式．