Question

9．已知四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四邊形ABEF為正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面ADF；
（2）若M為CD中點(diǎn)，證明：在線段EF上存在點(diǎn)N，使得MN∥平面ADF，并求出此時(shí)三棱錐N-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AF⊥平面ABCD，得出AF⊥BD，再由BD⊥AD即可得出BD⊥平面ADF；
（2）N為線段EF中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ADF，證明時(shí)利用正方形ABEF與平行四邊形形ABCD的性質(zhì)，得出四邊形NFDM為平行四邊形，從而證得MN∥DF，MN∥平面ADF，利用等積法求出三棱錐N-ADF的條件即可．

解答 解：（1）證明：正方形ABEF中，AF⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF?平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD；
又∵BD?平面ABCD，
∴AF⊥BD；
又BD⊥AD，AF∩AD=A，AF、AD?平面ADF，
∴BD⊥平面ADF；
（2）當(dāng)N為線段EF中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ADF；
證明如下：正方形ABEF中，NF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BA，
平行四邊形形ABCD中，MD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BA，
∴NF$\stackrel{∥}{=}$MD，
∴四邊形NFDM為平行四邊形，
∴MN∥DF；
又DF?平面ADF，MN?平面ADF，
∴MN∥平面ADF，過(guò)D作DH⊥AB于H，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，
又DH?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴DH⊥平面ABEF；
在Rt△ABD中，AB=2，BD=AD，
∴DH=1，
∴V_{三棱錐N-ADF}=V_{三棱錐D-ANF}
=$\frac{1}{3}$DH•S_△ANF
=$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$×1×2
=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用等積法求三棱錐體積的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．