Question

4．以直線y=$±\sqrt{3}$x為漸近線的雙曲線的離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線的方程$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，再利用c²=a²+b²，將所得等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程即可解得．

解答 解：設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，
則c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
∵雙曲線的漸近線為y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3或$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3，
∴c²=4a²或3c²=4a²，
∴e²=4或e²=$\frac{4}{3}$，
∴e=2或e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程的意義以及雙曲線離心率的求法，屬于中檔題．