Question

15．如圖，在△ABC中，∠BAD=90°，$BC=\sqrt{3}BD$，AD=1，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得cos∠CAD=sin∠BAC，利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•sin∠BAC，再利用正弦定理求得 AC•sin∠BAC=BC•sinB=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$，從而得出結(jié)論．

解答 解：在△ABC中，∠BAD=90°，$BC=\sqrt{3}BD$，AD=1，可得cos∠CAD=sin∠BAC，
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•AD•cos∠CAD=AC•AD•sin∠BAC=AC•sin∠BAC．
△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$，∴AC•sin∠BAC=BC•sinB=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•sin∠BAC=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$=$\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，正弦定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，判斷cos∠CAD=sin∠BAC，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．