Question

16．已知（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是128．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2^n-1=128，解出即可得出．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，可得：r=0，4，8時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是128．
∴2^n-1=128，
解得n=8．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（2\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{\root{4}{x}}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，
可得：r=0，4，8時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)．
分別為：2⁸x⁴，${∁}_{8}^{4}{2}^{4}x$，$\frac{1}{{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)展開式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算化簡能力、推理計(jì)算能力、化歸轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．