Question

9．如圖，已知點A是單位圓上一點，且位于第一象限，以x軸的正半軸為始邊，OA為終邊的角設(shè)為α，將OA繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$至OB．
（1）用α表示A，B兩點的坐標；
（2）M為x軸上異于O的點，若MA⊥MB，求點M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的定義直接表示A，B坐標；
（2）設(shè)出M，利用向量的數(shù)量積為0，得到關(guān)系式，然后求解點M橫坐標的取值范圍．

解答 解：（1）點A是單位圓上一點，且位于第一象限，以x軸的正半軸為始邊，OA為終邊的角設(shè)為α，α∈（0，$\frac{π}{2}$）
可得A（cosα，sinα），將OA繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$至OB．可得B（cos（$\frac{π}{2}+α$），sin（$\frac{π}{2}+α$）），
即B（-sinα，cosα）．
（2）設(shè)M（x，0），x≠0，
$\overrightarrow{MA}$=（cosα-x，sinα），$\overrightarrow{MB}$=（-sinα-x，cosα）．
MA⊥MB，
可得（cosα-x）（-sinα-x）+sinαcosα=0．
xsinα-xcosα+x²=0，
可得-x=sinα-cosα=$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）∈（-1，1）．
綜上x∈（-1，0）∪（0，1）．
點M橫坐標的取值范圍：（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．