Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$（a為常數(shù)，x＞0），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與直線2x+3y-3=0垂直，求曲線在該點(diǎn)處的切線方程；
（2）求證：f（x）＞lnx+$\frac{1}{2}x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a＞0，a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）（1）求出當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由兩直線垂直的條件可得斜率之積為-1，解得切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到所求切線的方程；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（lnx+$\frac{1}{2}x$），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，可得最值，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞a；由f′（x）＜0，可得0＜x＜a．
可得f（x）的增區(qū)間為（a，+∞）；減區(qū)間為（0，a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0，可得x＞-a；由f′（x）＞0，可得0＜x＜-a．
可得f（x）的減區(qū)間為（-a，+∞）；增區(qū)間為（0，-a）；
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，f′（x）=2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
可得切線的斜率為k=2-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
由切線與直線2x+3y-3=0垂直，可得2-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
解得x₀=1，f（x₀）=f（1）=$\frac{5}{2}$，
可得曲線在該點(diǎn)處的切線方程為y-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1），
即為3x-2y+2=0；
（2）證明：設(shè)g（x）=f（x）-（lnx+$\frac{1}{2}x$）
=2x+$\frac{1}{2x}$-lnx-$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$-lnx，x＞0，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{3{x}^{2}-1-2x}{2{x}^{2}}$=$\frac{（3x+1）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）遞減．
可得g（x）在x=1處取得極小值，且為最小值$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$-0=2＞0，
即有g(shù)（x）≥g（1）＞0，即g（x）＞0，即有f（x）＞lnx+$\frac{1}{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．