Question

4．班主任想對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，男女生各抽取多少位才符合抽樣要求？
（2）隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)、地理成績對應(yīng)如表：

學(xué)生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
地理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，在該班隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，他的數(shù)學(xué)和地理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
②根據(jù)如表，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點圖說明地理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由．
參考公式：
相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}^{\;}}^{\;}}$；回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=b$\stackrel{∧}{x}$+a，
其中：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\overline{y}$是x_i對應(yīng)的回歸估計值．
參考數(shù)據(jù)：$\overline{x}$≈77.5，$\overline{y}$≈84.9，$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1050，$\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$≈456.9，$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$≈687.5，$\sqrt{1050}$≈32.4，$\sqrt{456.9}$≈21.4，$\sqrt{550}$≈23.5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）①根據(jù)古典概型的概率公式 進(jìn)行計算即可．
②首先求出兩個變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解答 解：（1）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析
抽取女生數(shù)$\frac{25}{40}×8$=5人，男生數(shù)$\frac{15}{40}×8$=3人；
（2）①規(guī)定85分（含85分）以上為優(yōu)秀，
一個學(xué)生兩科都優(yōu)秀的為6.7.8三個同學(xué)，
則兩科都優(yōu)秀的概率是P=$\frac{3}{8}$．
②r=r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}^{\;}}^{\;}}$$\frac{687.5}{\sqrt{1050×456.9}}=\frac{687.5}{32.4×21.4}$≈0.99，非常接近于1，
∴地理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，則對應(yīng)的散點圖如圖：
∵$\overline{x}$=$\frac{60+65+70+75+80+85+90+95}{8}$=77.5，$\overline{y}$=$\frac{72+77+80+84+88+90+93+95}{8}$=84.9
b≈0.65，a≈34.53
則線性回歸方程為：y=0.65x+34.53

點評 本題考查線性回歸分析的初步應(yīng)用，考查分層抽樣，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，考查學(xué)生的計算能力．