Question

12．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F（-2，0），過點F的直線交雙曲線于AB兩點．若AB的中點坐標為（-3，-1），則E的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{1}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{1}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{1}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{1}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 求出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系列出方程解出a²，b²．

解答 解：∵雙曲線E的左焦點為F（-2，0），
∴a²+b²=4，即b²=4-a²．
直線AB的斜率為k=$\frac{-1}{-3+2}$=1，
∴直線AB的方程為y=x+2，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消元得：（4-2a²）x²-4a²x+a⁴-8a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{4-2{a}^{2}}$=-6，
解得a²=3．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
故選C．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系，大多利用根與系數(shù)的關系進行簡化計算，屬于中檔題．