Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸簡(jiǎn)歷極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）將半圓C化為參數(shù)方程；
（2）已知直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，點(diǎn)M在半圓C上，過(guò)點(diǎn)M斜率為-1直線與l交于點(diǎn)Q，當(dāng)|MQ|最小值時(shí)，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，注意參數(shù)的取值范圍．
（2）利用點(diǎn)一直線的位置關(guān)系，建立最值成立的條件，進(jìn)一步求出結(jié)論．

解答 解：（1）半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4y=0（0≤x≤2）
再把半圓C化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)，$-\frac{π}{2}$$≤α≤\frac{π}{2}$），
（2）設(shè)M到l的距離為d，則：|MQ|=$\frac5v7i2a7{sin15°}$，
所以：|MQ|取最小值時(shí)，僅當(dāng)d最小，故半圓C在M處的切線與直線l平行，
由CM⊥l，又l的傾斜角為$\frac{5π}{6}$，
所以：點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為：$α=\frac{π}{3}$
則：點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線的平行問(wèn)題，