Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=-sin²x-$\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=0，a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和值域．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出A的大小，最后利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=-{sin^2}x-\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$
=$cos（{2x+\frac{π}{3}}）+1$…（3分）
所以f（x）的最小正周期為T=π…（4分）
∵x∈R
∴$-1≤cos（{2x+\frac{π}{3}}）≤1$，
故f（x）的值域?yàn)閇0，2]…（6分）
（Ⅱ）由$f（A）=cos（{2A+\frac{π}{3}}）+1=0$
得$cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，
又A∈（0，π），
得$A=\frac{π}{3}$…（8分）
由余弦定理，得
${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$
=（b+c）²-3bc，
又$a=\sqrt{3}$，b+c=3，
所以3=9-3bc，
解得bc=2…（10分）
所以：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即周期性和值域的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用和三角形面積的應(yīng)用．