Question

20．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)椋?1，0），值域?yàn)椋?，+∞）．
（1）求a的取值范圍；
（2）求g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（x＞0）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x的范圍即可求出x+1的范圍（0，1），而f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），從而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可得出a∈（0，1）；
（2）分離常數(shù)即可得到$g（x）=1-\frac{2}{{a}^{x}+1}$，這樣根據(jù)a∈（0，1），以及x＞0即可得到0＜a^x＜1，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出g（x）的值域．

解答 解：（1）∵x∈（-1，0）；
∴x+1∈（0，1）；
又log_a（x+1）∈（0，+∞）；
∴0＜a＜1；
即a的取值范圍為（0，1）；
（2）$g（x）=\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}=1-\frac{2}{{a}^{x}+1}$；
∵0＜a＜1，x＞0；
∴0＜a^x＜1；
∴$1＜\frac{2}{{a}^{x}+1}＜2$；
∴$-1＜1-\frac{2}{{a}^{x}+1}＜0$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?1，0）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，對數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性，分離常數(shù)法的運(yùn)用，以及不等式的性質(zhì)．