Question

17．已知在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)
（1）求f（x）的展開(kāi)式中含x^-3的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求f（x）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用通項(xiàng)公式根據(jù)第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求得n的值，可得f（x）的展開(kāi)式中含x^-3的項(xiàng)的系數(shù)．
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可得f（x）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，即r=4，或r=5，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)為T(mén)₄=${C}_{n}^{3}$•x^9-n，為常數(shù)項(xiàng)，
∴n=9，故$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$=${（\frac{1}{x}{+x}^{2}）}^{9}$，它的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{9}^{r}$•x^3r-9，
令3r-9=-3，求得r=2，可得f（x）的展開(kāi)式中含x^-3的項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{9}^{2}$=36．
（2）f（x）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，即r=4，或r=5，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)或第六項(xiàng)，即T₅=${C}_{9}^{4}$•x³，T₆=${C}_{9}^{5}$•x⁹．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．