Question

15．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨即抽取該流水線上40件產品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據頻率分布直方圖，求重量不超過500克的產品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量不超過500克的產品數(shù)量，求Y的分布列及期望；
（3）從流水線上任取5件產品，求恰有2件產品合格的重量不超過500克的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率除以組距，可求x的值，利用所有頻率的和為1，可求y的值；
（2）求出重量未超過500克的產品數(shù)量，確定Y的取值，求出相應的概率，即可求Y的分布列及期望．
（3）從流水線上任取5件產品，恰有2件產品合格的重量 不超過500克，則有兩件合格，有三件不合格，利用組合數(shù)計算出概率即可

解答 解：（1）重量不超過500克的產品數(shù)量是40×（0.07×5+0.06×5+0.01×5）=28件；
（2）Y的所有可能取值為0，1，2；P（Y=0）=$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，P（Y=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}•{C}_{28}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{56}{130}$，P（Y=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{11}{130}$，
Y的分布列為

Y	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{56}{130}$	$\frac{11}{130}$

隨機變量X的數(shù)學期望
EY=0×$\frac{63}{130}$+1×$\frac{56}{130}$+2×$\frac{11}{130}$=$\frac{78}{130}$
（3）從流水線上任取5件產品，重量不超過500克的概率為$\frac{12}{40}$=$\frac{3}{10}$，
重量超過500克的概為1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$；
恰有2件產品合格的不重量超過500克的概率為C₅²（$\frac{3}{10}$）²（$\frac{7}{10}$）³=0.3087

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖，以及組合及組合數(shù)公式的應用，屬于基礎題．