Question

3．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在一個周期內(nèi)的圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得在（0，π）上，函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R）的圖象有2個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍．

解答 解：（1）觀察圖象，得$A=2，T=（\frac{11π}{12}-\frac{π}{6}）×\frac{4}{3}=π$．∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵函數(shù)經(jīng)過點$（\frac{π}{6}，2）$，∴$2sin（2×\frac{π}{6}+φ）=2$，即$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，又∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)的解析式為$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）∵0＜x＜π，∴f（x）=m的根的情況，相當于$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$與g（x）=m的交點個數(shù)情況，且0＜x＜π，
∴在同一坐標系中畫出$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R）的圖象．
由圖象可知，當-2＜m＜1或1＜m＜2時，直線y=m（m∈R）與曲線有兩個不同的交點，
即原方程有兩個不同的實數(shù)根，∴m的取值范圍為-2＜m＜1或1＜m＜2．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值．方程根的存在性以及個數(shù)的判斷，屬于中檔題．