Question

對(duì)于n∈N^*，求證：1+

1

2

+…+

1

n

≥eln（n+1）-n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先證明n=1時(shí)，原不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)不等式也成立．

解答： 證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

≥eln（k+1）-k+

1

k+1

，
證明eln（k+1）-k+

1

k+1

≥eln（k+2）-k-1，
即證明eln

k+1

k+2

≥-

k+2

k+1

成立，
即證明eln

k+2

k+1

≤

k+2

k+1

成立，
令x=

k+2

k+1

，即證

lnx

x

≤

1

e

（x＞1），
可構(gòu)造函數(shù)f（x）=

lnx

x

（x＞1），則f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0
∴

lnx

x

≤

1

e

，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)n，不等式都成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．