Question

3．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐外接球的表面積為（　�。�

• A． 72π
• B． 100π
• C． 108π
• D． 72$\sqrt{2}π$

Answer 1

分析 作出棱錐的直觀圖，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)可知過底面對(duì)角線的平面即為外接球大圓，利用平面幾何解出大圓的半徑．

解答 解：根據(jù)三視圖作出四棱錐的直觀圖如圖所示：

由三視圖可知，四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，P在底面的射影M在底面對(duì)角線BD上，
PM=2，且$\frac{DM}{BM}=\frac{1}{2}$．∴OB=3$\sqrt{2}$，設(shè)底面中心為O，則OM=$\sqrt{2}$，
∴平面BDP即為四棱錐外接球的大圓所在平面．作出該大圓的截面如圖：

設(shè)外接球球心為H，過H作BD的垂線HO，PM的垂線HN，則HN=OM=$\sqrt{2}$，
設(shè)大圓半徑為R，則MN=OH=$\sqrt{{R}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-18}$，PN=$\sqrt{H{P}^{2}-H{N}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-2}$．
∵PM=PN-MN，∴$\sqrt{{R}^{2}-2}$-$\sqrt{{R}^{2}-18}$=2．解得R=$\sqrt{27}$．
外接球的表面積S=4πR²=108π．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接球的關(guān)系，尋找大圓截面是解題關(guān)鍵．