Question

16．若函數(shù)y=log₂（a•4^x-$\frac{4}{3}$a•2^x-1）的圖象與直線y=2x有且只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a=-3，或a＞1}．

Answer 1

分析 由題意可得方程 a•4^x-$\frac{4}{3}$a•2^x-1=2^2x 有且只有一個實數(shù)解，令t=2^x＞0，（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一個正實數(shù)解．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得a的范圍．

解答 解：由題意可得，方程log₂（a•4^x-$\frac{4}{3}$a•2^x-1）=log₂2^2x 有且只有一個實數(shù)解，
即 a•4^x-$\frac{4}{3}$a•2^x-1=2^2x 有且只有一個實數(shù)解．
令t=2^x＞0，則關于t的方程at²-$\frac{4}{3}$at-1=t² 有且只有一個正實數(shù)解，
即 （a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一個正實數(shù)解．
①當a=1時，求得t=-$\frac{3}{4}$，不滿足條件．
②當a≠1時，此方程對應的二次函數(shù)的圖象的對稱軸為t=$\frac{2a}{3（a-1）}$，
由△=$\frac{16}{9}$a²+4（a-1）=0，可得a=$\frac{3}{4}$，或 a=-3．
若a=$\frac{3}{4}$，求得t=-2，不滿足條件；若a=-3，求得t=$\frac{1}{2}$，滿足條件．
③當此方程有一個正根和一個負根時，t₁•t₂=$\frac{-1}{a-1}$＜0，求得a＞1．
綜上可得，a的范圍為{a|a=-3，或a＞1}．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個函數(shù)的難點，屬于難題．