Question

10．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{2}{x}$，．
（Ⅰ） 判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性并用定義證明； 并求f（x）在x∈[-2，-1]的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出f（-x），判斷出f（-x）與f（x）的關系，利用奇函數(shù)偶函數(shù)的定義判斷出f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）設出定義域中的兩個自變運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟，再根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為x≠0，
又∵f（-x）=-x+$\frac{2}{x}$=-（x-$\frac{2}{x}$）=-f（x），
∴f（x）在其定義域內是奇函數(shù)．
（Ⅱ）設x₁＜x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂＜0
∴x₂x₁＞0，（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-2，-1]單調遞增．
∴f（x）_max=f（-1）=-1+2=1，f（x）_min=f（-2）=-2+1=-1，

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的證明，考查定義法的運用，考查運算能力，屬于基礎題．