Question

9．已知命題p：若a＞1，則a^x＞log_ax恒成立；命題q：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}（{x＞0}）\\{e^x}（{x≤0}）\end{array}\right.$，若F（x）=f（x）+x，x∈R，則F（x）的值域是（-∞，1]∪[2，+∞）．下列選項為真命題的是（　�。�

• A． （￢p）∧（￢q）
• B． p∨（￢q）
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧q

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷出命題p的真假，再求出函數(shù)F（x）的解析式，當(dāng)x＞0時可利用基本不等式求出值域，當(dāng)x≤0時可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，判斷出q的真假，結(jié)合真值表判斷即可．

解答 解：對于命題p：若a＞1，則a^x＞log_ax恒成立，x＜0時，無意義，
故命題p是假命題；
對于命題q：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}（{x＞0}）\\{e^x}（{x≤0}）\end{array}\right.$，F(xiàn)（x）=f（x）+x，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}++x\\;\\;\\;x＞0}\\{{e}^{x}+x\\;\\;\\;\\;\\;x≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
當(dāng)x≤0時，
∵（e^x+x）′=e^x+1＞0，
∴e^x+x在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴e^x+x≤1，
綜上所述：F（x）的值域為（-∞，1]∪[2，+∞）．
故命題q是真命題；
由題意判出命題p假，則￢p真，命題q真，則￢q假，
因為￢p真，￢q假，所以（￢p）∧（￢q）假，故A不能選；
因為p假，￢q假，所以p∨（￢q）假，故B不能選；
因為p假，￢q假，所以p∨（￢q）假，故C不能選；
因為p假q真，所以￢p∧q真，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的真假，解答的關(guān)鍵是掌握復(fù)合命題的真假的判斷方法．