Question

1．已知函數(shù)f（x）=（k+1）a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）當(dāng)a＞1時，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0對任意x∈（1，3）都成立的實數(shù)t的取值范圍；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）+3m-2在[1，+∞）上的最小值是-4，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用f（0）=0，進行求解即可．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進行求解．
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$，可解得a=2，利用換元法令t=2^x-2^-x，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，通過對m范圍的討論，結(jié)合題意h（t）_min=-4，即可求得m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即k+1-1=0，則k=0．
（2）∵k=0，∴f（x）=a^x-a^-x，
若a＞1，y=a^x為增函數(shù)，y=a^-x，為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
由f（x²+tx）+f（4-x）＞0得f（x²+tx）＞-f（4-x）=f（x-4），
即x²+tx＞x-4，
即x²+（t-1）x+4＞0，在x∈（1，3）都成立，
即（t-1）x＞-4-x²，
則t-1＞-$\frac{4}{x}$-x=-（$\frac{4}{x}$+x），
∵$\frac{4}{x}$+x≥2$\sqrt{\frac{4}{x}•x}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x}$=x，即x=2時取等號，
∴-（$\frac{4}{x}$+x）≤-4，
則t-1＞-4，
則t＞-3．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）+3m-2=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）+3m-2，
令t=2^x-2^-x，則2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g（x）=h（t）=t²-2mt+3m=（t-m）²+3m-m²，t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
當(dāng)m＜$\frac{3}{2}$時，h（t）在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，則h（$\frac{3}{2}$）=-4，$\frac{9}{4}$-3m+3m=-4，此時$\frac{9}{4}$=-4不成立．
當(dāng)m≥$\frac{3}{2}$時，則h（m）=-4，3m-m²=-4，即m²-3m-4=0，得m=4，或m=-1（舍去）．
綜上，m的值是4．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出換元思想與分類討論思想在最值中的綜合應(yīng)用，屬于難題．