Question

18．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)P（-3$\sqrt{2}$，4），它的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁和F₂為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=41，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，設(shè)雙曲線方程為y²-$\frac{16}{9}$x²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)P的坐標(biāo)算出λ=-16，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，算出a=3、b=4且c=5，設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則d₁•d₂=41，又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d₁-d₂|=2a=6，再由△F₁PF₂中|F₁F₂|=10，利用余弦定理加以計(jì)算即可得出∠F₁PF₂的余弦值．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{16}{9}$x²=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)P（-3$\sqrt{2}$，4），可得λ=-16，
∴所求求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
（2）設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則d₁•d₂=41，
又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d₁-d₂|=2a=6，
∴d₁²+d₂²-2d₁d₂=36即有d₁²+d₂²=36+2d₁d₂=118，
又|F₁F₂|=2c=10，
∴|F₁F₂|²=100=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos∠F₁PF₂
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{14}{41}$

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線的漸近線，在雙曲線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的情況下求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并依此求∠F₁PF₂的余弦值．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．