Question

7．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120°，以AB為直徑的⊙M與拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)N，則$\frac{|AB|}{|MN|}$最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先畫(huà)出圖象、做出輔助線，設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義得2|MN|=a+b，由題意和余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，再根據(jù)基本不等式，求得|AB|²的取值范圍，代入$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}$化簡(jiǎn)即可得到答案．

解答 解：如圖：過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ、BP，垂足分別是Q、P，
∵以AB為直徑的⊙M與拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)N，
∴MN⊥PQ．
設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²，即|AB|²≥$\frac{3}{4}$（a+b）²，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}$≥$\frac{\frac{3}{4}（a+b）^{2}}{\frac{1}{4}（a+b）^{2}}$=3，
則$\frac{|AB|}{|MN|}$≥$\sqrt{3}$，即所求的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．