Question

16．銳角三角形△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$\frac{a}$+$\frac{a}$=4cosC，則$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的最小值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用基本不等式求出a、b、c的關(guān)系，再化簡(jiǎn)$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，利用正弦定理即可求出最小值．

解答 解：銳角三角形△ABC中，$\frac{a}$+$\frac{a}$=4cosC，
∴4cosC=$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立；
∴cosC≥$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤cosC＜1，
∴0＜sinC≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$
=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$
=$\frac{sinC}{sinAsinB}$，
∴a=b=c時(shí)，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$取得最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．