Question

19．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的右焦點的直線交橢圓于A，B兩點．若|AB|=8，則AB的中點P到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{20}{3}$到左準(zhǔn)線的距離為10．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．右準(zhǔn)線方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，左準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$．右焦點F（3，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：my=x-3，與橢圓方程聯(lián)立化為：（16m²+25）y²+96my-256=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式可得：$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=8，解得m，再利用中點坐標(biāo)即可得出．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=3．右準(zhǔn)線方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{25}{3}$，左準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-$\frac{25}{3}$．

右焦點F（3，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：my=x-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化為：（16m²+25）y²+96my-256=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{96m}{16{m}^{2}+25}$，y₁y₂=-$\frac{256}{16{m}^{2}+25}$．
∵|AB|=8，
∴$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=8，
化為：4m²=5，解得m=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴y₁+y₂=$±\frac{48\sqrt{5}}{45}$．
則AB的中點P$（\frac{5}{3}，±\frac{8\sqrt{5}}{15}）$到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{20}{3}$，到左準(zhǔn)線的距離為10．
故答案分別為：$\frac{20}{3}$；10．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．